DISKRIT

1.    EKUIVALENSI  LOGIS

Pada teutologi dan juga kontradiksi, dapat dipastikan bahwa jika dua buah ekspresi logika adalah teutologi, maka keduabuh ekspresi tersebut ekuivalen secara logis,  demikian juga jika keduanya kontradiksi : persoalanya ada pada catingent, karena memiliki semua nilai S dan B. tetapi jika ukuran B dan S atau sebaliknya pada  table kebenaran tetap pada ukuran yang sama maka tetap disebut ekuivalen secara logis.

Contoh :

1.    Dewi sangat cantik dan peramah

2.    Dewi peramah dan sangat cantik

Kedua pernyataan diatas, tanpa dipikir panjang, akan dikatakan ekuivalen atau sama saja, dalam bentuk ekspresi logika dapat ditampilkan berikut :

A      =        Dewi sangat cantik

B      =        Dewi peramah

Maka ekspresi logika adalah :

(1)  A ∧ B

(2)  B ∧ A

Kedua buah ekspresi logika tesebut dikatakan ekuivalen secara logis, dan dapat ditulis :

(A ∧ B) = (B ∧ A) 

Ekuivaelnsi logis dan kedua ekspresi ogikja dapat dibuktikan dengan tebel kebenaran. Sebagai berikut.

A	B	A ∧ B	B ∧ A
B	B	B	B
B	S	S	S
S	B	S	S
S	S	S	S

Pembuktian dengan tabel kebenaran diatas, w3alaupun setiap ekspresi logika memiliki nilai B dan S, tetapi untungnya sama maka secara logis dikatakan ekuivalen, tetapi jika untuk S dan B tidak sama maka tidak bias dikatakan ekuivalen secara logis.

Defenisi     =             proposisi A dan B disebut ekuivalen secara logis jika A             B adalah teutologi. Notasi atau symbol A ≡ B menandakan bahwa A dan B ekuivalen secara logis.

Tabel kebenaran merupakan alat untuk membuktikan kebenaran ekuivalen secara logis. Kesimpulan diambil berdasarkan hasil dari tabel kebenaran tersebut.

Contoh:

1.    Badu tidak pandai, atau dia tidak jujur

2.    Adalah tidak benar jika badu pandai dan jujur

Kedua pernyataan diatas sebenarnya sama saja, tetapi bagaimana jika dibuktikan dengan tabel kebenaran. Berdasarkan ekspersi logika, ubah dahulu pernyataan diatas menjadi ekspresi logika dengan member variable propesional.

A= Badu pandai

B = Badu jujur

Kedua penyataan menjadi :

1.    –A V – B

2.    – (A V B)

Selanjutnya dibuktikan dalam tabel kebenaran bahwa kedua ekspresi logika itu ekuivalen

A	B	A ∧ B	- A V - B	- (A ∧ B)
B	B	B	S	S
B	S	S	B	B
S	B	S	B	B
S	S	S	B	B

Meskipun kedua ekspresi logika diatas memiliki nilai  kebenaran yang sama, ada nilai B dan S, keduanya  baru dukatakan ekuivalen secara lois kija dihubungkan dengan perangkai ekuivalen (                                 ) dan akhirnya menghasilkan teutologi

Perhatikan lanjutan tabel berikut :

– A V – B             – (A V B)

B

B

B

B

Terbukti bahwa kedua ekspresi  logika diatas ekuivalen secara logis karena nilai kebenaran bernilai B.

2.    Komutatif (Pertukaran)

Pada begian diatas sudah dibahas bahwa (A ∧ B) ≡ (B ∧ A), pada perangkai (∧) tersebut, variable kedua propesional dapat salng berganti tempat tampa mengubah nilai kebenaran dari kedua ekspresi logika karena tetap memiliki nilai kebenaran yang sama disebut komutatif

Jadi (A ∧ B) ≡ (B ∧ A)

Demikian juga dengan perangkai (V) : (A V B) ≡ (B V A)

Demikian juga dengan perangkai (             ) : (A          B) = (B         A)

Sifat komutatif dari ketiga perangkai diatas dapat dibuktikan  denga tabel kebenaran . lain halnya dengan perangkai (     ) tidak memiliki sifat komutatif, karena (A     B) dengan (B     A) memiliki nilai kebenaran ahng berbeda. Lihat pembuktiannya dengan tabel kebenaran berikut.

A	B	A       B	B        A
B	B	B	B
B	S	S	B
S	B	B	S
S	S	B	B

Jadi terbukti bahwa ekspresi logika A     B dengan B      A keduanya tidak ekuivalen

3.    Asosiatif (Pengelompokan)

Penempatan tanda kurung bias pada suati ekspresi logika peranan penting, karena tanda kurung berarti meminta proses dikerjakan lebih dahulu pada tanda kurung terdalam.

Jika diterapkan pada dua buah ekspresi logika,  penempatan tanda kurung biasa dapat diubah, tetapi tidak mengubah nilai kebenarannya pada tabel kebenaran yan dibuat

contoh :

A	B	C	A ∧ B	(A ∧ B) ∧ C	B ∧ C	A ∧ (B ∧ C)
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S
B	S	B	S	S	S	S
B	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	S	B	S
S	B	S	S	S	S	S
S	S	B	S	S	S	S
S	S	S	S	S	S	S

Jadi dapat dibuktikan bahwa

{(A ∧ B) ∧ C}  ≡  {A ∧ (B ∧ C)}

dan karena tanda kurungnya  bias dipindahkan dan tidak mengubah nilai kebenaran maka disebut asosiatif

asosiatif lainya biasana terjadi pada perangkai yang sama misalnya :

perangkai (V) dan perangkai ( ), jadi  (A V B)VA) ≡ (AV(BVC). Tetapui tidak berlaku (      ), jika pada A      B dan B       A sudah bernilai tidak sama. Maka ((A    B)     C) dan (A    (B     C)) juga dipastikan tidak sama.    Akan tetapi, jika perangkainya berbeda pada satu ekspresi logika, anda tidak bisa memindahkan tandakurung dengan sembarangan karena akan menghasilkan nilai kebenaran  yang berbeda.

Contoh :

A	B	C	A ∧ B	(A ∧ B) V C	B V C	A ∧ (B V C)
B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	B	B	B
B	S	B	S	B	B	B
B	S	S	S	S	S	S
S	B	B	S	B	B	S
S	B	S	S	S	B	S
S	S	B	S	B	B	S
S	S	S	S	S	S	S

Jadi terbukti nilai kebenaran dari (A > B) VC dan A > (B V C) tidak sama, walaupun urutan perangkainya sama. Pletakan tanda kurung yang berbeda menyebabkan perbedaan nilai kebenaran.

4.    Hukum logika

hukum-hukum logika yang digunakan untuk memebutikan berbagai keperluan, termasuk validitas sebuah argument,  dapat dikembangkan dari ekuivalen logis. Hukum-hukum logika  juga diambil dari ekspresi-ekspresi logika berdasarkan pernyataan-pernyataan sehingga tetap dapat dibuktikan kebenarannya melalui pernyataan tersebut

contoh:

1.    Jika anda tidak belajar, maka anda akan gagal.

2.    Anda Harus Belajar, atau anda akan gagal.

Jika ingin membuat ekspresi logika, maka variabel proposisionalnya harus duganti dulu, seperti berikut.

A = anda belajar

B = anda gagal

Maka ekspresi logika akan menjadi

1.    A       B

2.    – A V B

 Kemudian dibuktikan bahwa A       B ≡ – A V B. dalam tabel kebenaran.

A	B	A      B	– A	– A V B
B	B	B	S	B
B	S	S	S	S
S	B	B	B	B
S	S	B	B	B

Ternyata A       B ≡ - A V B karena memiliki nilai kebenaran yang sama pada tabel kebenaran.

Sekarang perhatikan hukum de morgan

1.    – (A Λ B) - A V – B

2.    – (A V B)≡ - A Λ- B

Pembuktian hukum de morgan juga dapat dibuiktikan dengan tabel kebenaran,  seperti hukum-hukum lainya, sebuah hukum juga dapat  diberlakukan terbalik, jadi – (A Λ B) ≡- A V – B tetap akan sam dengan - A V – B ≡ – (A Λ B) untuk hukum-hukum logika lainya dapat dilihat pada contoh berikut.

 Contoh :

1.    Jika badu tidak sekolah, maka badi tidak akan pandai

2.    Jika badu pandai, maka badu pasti sekolah

untuk membuktikan maka harus diubah menjadi ekspresi logika seperti berikut :

A = badu sekolah

B = badu pandai

Maka akan menjadi

1.    – A       - B

2.    B        A

Pembuktian ekuivalensi dilakukan dengan tabel kebenaran

A	B	– A	– B	– A       –B	B       A
B	B	S	S	B	B
B	S	S	B	B	B
S	B	B	S	S	S
S	S	B	B	B	B

Jadi terbukti bahwa :

– A       –B ≡ B       A

5.    Konvers, invers, dan kontraposisi

Dari suatu komplikasi  p       q, dapat peroleh :

              i.        q        p yang disebut konvers dari p       q

            ii.        –p      -q yang disebut invers dari p       q

           iii.        –q       -p yang disebut kontraposisi dari p       q

Tabel kebenaran dari keempatpernyataan diatas sebagai berikut.

				Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
p	q	– p	– q	p      q	q      p	–p        –q	–q         –p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dari tabel kebenaran ini dapat dilihat bahwa

          i.       p        q ≡ – q       – p

         ii.       q        p ≡ – p       – q  

 contoh :

apakah konvers, invers, kantraposisi kalimat dibawah ini ?

a.      Jika merupakan suatu bujur sangkar, maka A meruppakan sauatu 4 persegi panjang

b.      Jika N adalah bilangan prima > 2, maka N adalah bilangan ganjil

Penyelesaian :

a.      Konvers           :      jika a merupakan 4 persegi panjang maka a adalah suatu  bujur sangkar

       Invers               :      jika a bukan bujur sangkar mak a bukan 4          persegi panjang

       Kantraposisi    :      jika a bukan 4  persegi panjang maka a bukan bujur sangkar

b.      Konvers           :      jika N adalah bilangan ganjil, maka N adalah bilangan prima > 2

       Invers               :      jika N bukan bilangan prima > 2 maka N bukan bilangan ganjil

       Kantraposisis  :      jika N bukan bilangan ganjil, maka N bukan bilangan prima. > 2